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DrGeo：物理老師也會心動的幾何教學軟體

洪朝貴(朝陽科技大學資訊管理系教授)

2004/05/11

本文的 英文版 較豐富; 待英文版完成再回頭修訂中文版。

drgeo 是一套尺規作圖幾何教學軟體。 數學課本說: 光靠圓規與直尺就可以畫出很多有趣的圖形出來。 Dr Geo 不說大道理。 它叫你親手試試看就知道了。

受不了的好玩! 太感動了! 如果我小時候有這套軟體可以玩, 一定更早把幾何學學好。 好久沒有像年輕時打電動玩具那樣對一套軟體愛不釋手了! 玩到差點來不及去上課 ^_^"' 一邊用滑鼠抓著小人亂動, 一邊看到透鏡成像之後的那個小人跟著跳舞, 我快被自己笑翻了!

呃, 好吧, 也許您不覺得有什麼好笑; 不過對教學真的有幫助。 拜託廣為宣傳給中小學數學老師與物理老師!

我才學會一點點簡單的操作, 做了兩個簡單的例子, 與一個稍微複雜的例子, 也沒時間好好寫講義, 就忍不住要把這不成熟的東西拋出來野人獻曝一下。 請用 drgeo 開啟這三個 .fgeo 檔:

對偶原理

對偶原理: 點 < == > 直線 相對於單位圓的對偶關係; 兩點連線的對偶, 等於對偶兩線的交點。

[對偶原理]

凸透鏡與凹透鏡的成像原理

凸透鏡與凹透鏡的成像原理: 凸透鏡焦點如果移到原點左邊, 就變成凹透鏡。

[凸透鏡成像原理]

[凹透鏡成像原理]

請用滑鼠拉動裡面的元件玩玩看。 有些複雜的輔助曲線被我藏起來了, 要選第 6 個工具 (「箱子內有磁片與鉛筆」) 的 「彩色九格圖」 才會看得到。

重力加速度/速度的合成與分解

重力加速度/速度的合成與分解: 拉動 t 點, 就可以看到每個時刻的瞬間速度 (注意 x 分量一直維持不變; y 分量一直遞減)。 拉動 V0, 可以看到同樣速率, 不同方向的初速度, 對物體的軌跡有什麼影響。 (等我搞清楚如何讓拋物線的右側完整畫出, 就...) 可看得出來: 朝 45 度方向丟東西, 可以丟得最遠。 這兩張圖的初速度一樣, 前者重力比較小, 顯示的是通過最高點之前的速度向量; 後者重力比較大, 顯示的是通過最高點之後的速度向量

[比較弱的重力; 通過最高點之前的速度向量]

[比較強的重力; 通過最高點之後的速度向量]

製作流程提示:

  1. 畫地平線及圓心落在地平線上的圓。
  2. 在圓上面點一個初速度向量 V0, 並畫出它的 x 分量 V0_x 與 y 分量 V0_y。
  3. 畫重力加速度向量 g (真實的向量太小; 為方便手拉控制, 畫面上秀出來的其實是 g 的 10/3 倍向量 g_handle)
  4. 找出軌跡的最高點 Top = (x_h, y_h)。 假設在 t_h 時刻到達最高點, 則 V0_y - g * t_h = 0 由此解出 t_h 後代入 x_h = V0_x * t_h 與 y_h = V0_y * t_h - g * t_h^2 / 2 並用平行線方式繪出這兩個長度。
  5. 為簡化計算, 以下改用軌跡最高點當做原點。 方程式變成: y = - g * x^2 / (2 * V0_x ^2)
  6. 找出軌跡上 x_f = 2 y_f 的那個點。 因為任何拋物線上面, 這個點與焦點正好等高 (y 座標相同)。 算出 y_f = - V0_x^2 / (2 * g)
  7. 畫出焦點, 準線。
  8. 在新的 x 軸 (通過最高點的水平線) 上畫一點 t 當做自變量。 做 t 與焦點連線的中垂線 Tangent; 又過 t 做垂直 x 軸的直線。
  9. 上述兩線的交點 p 即是拋物線上一點。 用 locus 工具 (左邊第二個選單的倒數第二個工具) 先選自變量 t, 再選應變量 p, 就會出現拋物線。
  10. 先前的中垂線 Tangent, 其實就是拋物線上過 p 的切線, 也是速度向量的方向。 至於它的長度呢? 因為水平分量自始至終維持不變, 所以可以先將水平分量畫出, 然後做垂直與 Tangent 相交即可求出。

製圖心得

  1. 先想清楚: 誰是自變量? 將來要讓使用者可以拉著玩的變數, 必須先畫。 自變量的變化範圍有多大? 例如重力加速度的範圍, 限制在垂直方向比較合理; 又如將初速度限制在一個圓上面, 可以表達初速度的速率固定, 但方向不同時的效果。
  2. 何時用線段? 射線? 直線? 如果只是要被別人平行/垂直, 用線段就可以了, 可以降低畫面的混亂。 如果將來要與別人相交, 則應用直線 (或射線 -- 如果你很確定另一個方向不會交叉到的話)。
  3. 我自己很少用「向量」, 因為圖移動時, 它會「脫隊」。 向量可以做的事, 用平行線將線段平移也都可以做。 當然某些場合用向量很自然且可以降低畫面的混亂, 例如速度向量的 x 分量就是用「平移」工具 (左邊第三選單的倒數第三項) 與向量做出來的。 此時不妨將向量搬到旁邊, 反正它與原圖本來就是分開的。

安裝

如果您下載 dolphin 版, mirror 版, 或 freedu 版的免安裝光碟 knoppix 的 .iso 檔, 那麼直接以光碟開機就可以執行, 不必在你的硬碟上安裝任何軟體。

又以 mandrake 9.1 為例, 可以直接安裝 0.9.9 版。 如果是從 rpmfind 下載到的舊版 drgeo-0.9.8-*.rpm 則還需要 guile-1.6.4-*.rpm (drgeo 依賴的套件)。 並且因為與系統既有的 libguile12 及 guile 衝突, 所以必須先移除此二者。 移除時若發生 dependencies 的錯誤, 可以用 --nodeps 選項。

有一套類似的軟體: kseg, 還沒有空玩。

待續... (如果我沒有被 drgeo 那個視窗黏住, 而且把該做的正事都做完的話)

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